Elbakyan è nata ad Almaty in Kazakhstan il 6 novembre 1988. Si descrive come multirazziale, di origine armena, slava e asiatica.
Nel 2009 ha conseguito il Bachelor of Science in Informatica presso la Kazakh National Technical University, con specializzazione in sicurezza informatica.
Nel 2010, dopo un anno di lavoro nel settore della sicurezza informatica a Mosca, ha ottenuto le risorse finanziarie necessarie per lavorare ad un progetto di interfaccia neurale all'Università di Friburgo e ha sviluppato un interesse per il transumanesimo, motivo per il quale ha svolto un tirocinio estivo presso il Georgia Institute of Technology negli Stati Uniti, dove ha studiato "Neuroscienze e Coscienza".
Durante la redazione della tesi si scontrò spesso con la necessità di accedere a documenti scientifici messi a disposizione solo a pagamento. Trovò un modo di aggirare i paywall delle case editrici ed iniziò a farlo su richiesta di altri studenti. Rientrata in patria, decise di organizzare un metodo per dare sistematicamente accesso ai documenti di ricerca e nel 2011 fondò Sci Hub, un sito che rende pubbliche gli articoli dei ricercatori.
Nel 2016 il sito ospitava circa 60 milioni di pubblicazioni e raggiunse i 75 milioni di download. Sci-Hub è stato descritto dal giornalista di Science John Bohannon come "un atto di altruismo o una massiccia impresa criminale, in base a chi lo si chiede".
Dopo una causa intentata negli Stati Uniti dall'editore Elsevier, Elbakyan è attualmente in clandestinità a causa del rischio di estradizione ed è stata emessa un'ingiunzione contro di lei e un risarcimento danni per 15 milioni di dollari.
Secondo un'intervista del 2016, le sue ricerche nel campo delle neuroscienze sono sospese ma si è iscritta a un master in Storia della scienza in una "piccola università privata" in un luogo segreto. La sua tesi è incentrata sulla comunicazione scientifica.
Nel dicembre 2016 Nature Publishing Group ha nominato Alexandra Elbakyan come una delle 10 persone più influenti nella scienza di quell’anno.
Nel 2018 Elbakyan ha chiesto ai sostenitori di Sci-Hub di unirsi al loro Partito Pirata locale per battersi affinché le leggi sul diritto d'autore vengano modificate.
Nel dicembre 2019 il Washington Post ha riferito che Elbakyan era sotto inchiesta da parte del Dipartimento della giustizia degli Stati Uniti d'America per presunti legami con l'intelligence militare russa, il GRU, al fine di rubare segreti militari statunitensi da appaltatori della difesa. Elbakyan ha negato ciò, dichiarando che Sci-Hub "non è in alcun modo direttamente affiliato ai servizi segreti russi o di qualche altro Paese", ma osserva che "naturalmente ci potrebbe essere un aiuto indiretto. Come per le donazioni, chiunque può inviarle; sono completamente anonime, quindi non so chi esattamente stia donando a Sci-Hub”.
La regina dei pirati o la Robin Hood della ricerca? Sci-Hub potrebbe essere la partita che finalmente accende la rivoluzione dell'accesso aperto ai risultati della ricerca, ma cosa sappiamo veramente della donna al timone di questa "nave pirata"? Com'è lei? Come si combinano le sue conoscenze di neuroscienze con SciHub? Qual è il suo obiettivo finale? È un'alleata o una minaccia per la ricerca?
Questo è quello che speriamo di scoprire in questa intervista.